Ćwiczenia z elektrotechniki

WYKRESY KOŁOWE

Wstęp

W ćwiczeniu sprawdza się metodę wykresów kołowych, tzn. określa się zmianę skutecznej wartości wybranego napięcia lub prądu przy zmianach odpowiedniego parametru (rezystancji, indukcyjności lub pojemności) obwodu.

Metodę tę stosuje się do tych obwodów, w których prądy i napięcia można zapisać w postaci funkcji (liczb) zespolonych, czyli do obwodów liniowych z wymuszeniem sinusoidalnym. Załóżmy, że wartość skuteczna (lub maksymalna) zespolona prądu (lub napięcia) w pewnej gałęzi obwodu lub impedancja pewnego dwójnika zależy od parametru , wyrażającego się liczbą rzeczywistą. Tym parametrem może być rezystancja , indukcyjność , pojemność lub częstotliwość . Gdy parametr zmienia się w sposób ciągły, to moduł i argument wskazu, przedstawiającego wielkość zespoloną, zmieniają się także w sposób ciągły. Miejsce geometryczne końców wskazu przy ciągłej zmianie parametru nazywa się krzywą wskazową.

Przekształcenie

Na płaszczyźnie zespolonej znajduje się wskaz . Należy wyznaczyć wskaz . Widać, że:

Porządek postępowania jest następujący:

narysować wskaz ,
wykreślić okrąg o promieniu i środku leżącym w początku układu współrzędnych,
z końca wektora wystawić styczną do okręgu jednostkowego,
z punktu styczności poprowadzić prostopadłą do wskazu , zaznaczyć w miejscu przecięcia punkt ,
odbicie zwierciadlane względem osi rzeczywistej daje punkt .

Odcinek jest poszukiwanym wskazem .

Ten sposób postępowania ilustruje rys. 1

Jeśli długość zadanego wektora jest mniejsza od , to konstrukcję przeprowadza się w odwrotnym porządku (wskaz , okrąg jednostkowy, punkt , styczna w punkcie , punkt , punkt ), jak przedstawia to rys. 2.

Konstrukcje te uzasadnia podobieństwo trójkątów i . Czyli przekształcenie transformuje prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych w jej zwierciadlane odbicie.

Przekształcenie okręgu nie przechodzącego przez początek układu współrzędnych

Zadana jest krzywa wskazowa wielkości , jest nią okrąg o promieniu i o środku w punkcie . Równanie tego okręgu jest następujące:

(1)

(2)

Każdy punkt okręgu jest przekształcony wg . Po przekształceniach otrzymuje się równanie okręgu o promieniu i środku w punkcie , .

(3)

Etapy konstrukcji okręgu są następujące:

narysować okrąg ,
narysować prostą przechodzącą przez punkty i ,
zaznaczyć punkty i przecięcia prostej z okręgiem,
znaleźć punkty i ,
punkty i leżą na okręgu , którego średnicą jest odcinek .

Przekształcenie transformuje okrąg nie przechodzący przez początek układu współrzędnych w okrąg także nie przechodzący przez początek układu współrzędnych.

Przekształcenie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych

Jeżeli okrąg na płaszczyźnie zespolonej jest tak rozmieszczony, że przechodzi przez początek układu, to:

(4)

czyli

(5)

Wtedy równanie opisujące ten okrąg ma postać:

(6)

Po przekształceniu otrzymuje się równanie:

(7)

Jeśli przyjmie się oznaczenie:

(8)

czyli

(9)

Jest to równanie prostej nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Współczynnik kierunkowy prostej (9) wynosi

(10)

Prosta przechodzi przez punkty: i .

W rezultacie przekształcenia z okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych otrzymuje się prostą nie przechodzącą przez początek układu. Etapy powyższej transformacji są następujące:

narysować okrąg ,
zaznaczyć promień ,
narysować średnicę zawierającą punkt ,
punkt przekształcić w punkt stosując transformację ,
narysować prostą ,
z punktu poprowadzić prostopadłą do prostej . Jest to poszukiwana prosta.

Przykładem przekształcenia prostej w okrąg jest . Krzywa wskazowa impedancji , przy jest prostą (rys. 5), natomiast admitancja przy tym samym założeniu () przedstawia okrąg (rys. 6).

Pomiary

Pomiary wykonuje się w układach wskazanych przez prowadzącego zajęcia. Na stanowisku laboratoryjnym istnieje możliwość wyznaczenia miejsc geometrycznych końców wektorów: