Ćwiczenie odbywa się w sali 302

STANY NIEUSTALONE W OBWODACH LINIOWYCH

Wprowadzenie

Stan obwodu elektrycznego, w którym wszystkie napięcia i prądy w obwodzie oraz energia zmieniają się okresowo lub mają wartości stałe nazywa się stanem ustalonym obwodu. Każdemu stanowi ustalonemu obwodu elektrycznego odpowiada określona ilość energii pola elektrycznego i magnetycznego. Przejście do innego stanu obwodu związane jest ze wzrostem lub zmniejszeniem się energii tych pól. Energia nagromadzona w polu magnetycznym i energia nagromadzona w polu elektrycznym nie mogą zmieniać się skokowo, lecz tylko w sposób ciągły, gdyż przy nieciągłej zmianie energii moc chwilowa osiągnęłaby wartość nieskończenie wielką, co fizykalnie nie jest możliwe. Z niemożliwości przejścia obwodu elektrycznego z jednego stanu ustalonego do drugiego stanu ustalonego bezpośrednio po dokonanej w obwodzie zmianie, wynika istnienie w obwodzie pewnego stanu pośredniego. Nazywa się go stanem nieustalonym. Natychmiastowe przejście z jednego stanu ustalonego do drugiego stanu ustalonego jest możliwe w obwodach czysto rezystancyjnych.

Warunki początkowe

Analiza napięć i prądów nieustalonych rozpoczyna się od określenia warunków początkowych. Wynikają one z zasady zachowania energii. Energia pola magnetycznego cewki zależy od strumienia skojarzonego z tą cewką. Wynika z tego zasada ciągłości strumienia skojarzonego z cewką o indukcyjności . Wobec tego, że strumień skojarzony z cewką

,

a zatem zasada ciągłości strumienia magnetycznego jest równoznaczna z zasadą ciągłości prądu płynącego przez cewkę

;.

Energia pola elektrycznego kondensatora zależy od ładunku elektrycznego kondensatora. Wynika z tego zasada ciągłości ładunku elektrycznego w gałęzi z pojemnością. Wobec tego, że ładunek kondensatora

,

a więc zasada ciągłości ładunku jest równoznaczna z zasadą ciągłości napięcia na zaciskach kondensatora

;.

W obwodzie zawierającym idealny opornik o rezystancji możliwe są skokowe zmiany napięcia i prądu, gdyż

.

Włączenie napięcia stałego w obwodzie szeregowym RL

W obwodzie (rys. 1) sygnałem nieciągłym (nie zmieniającym się skokowo) jest prąd. W przedziale czasu z napięciowego prawa Kirchhoffa i prawa Ohma otrzymuje się zależności:

(3)

czyli

(4)

a stąd

,

(5)

przy warunkach początkowych .

Rozwiązanie równania (5) ma postać

,

(6)

co ilustruje rys. 2a.

Napięcie na cewce wynosi

(7)

Rezultat ten ilustruje rys. 2b. W chwili napięcie zasilające skokowo spada do zera. Można więc potraktować gałąź RL jako zwartą. Wtedy równanie (5) ma postać

dla.

(8)

Jego rozwiązaniem zaś jest

(9)

Napięcie na cewce przed komutacją wynosi

,

(10)

a w chwilę po komutacji

.

(11)

Ilustruje to rys. 3.

Włączenie napięcia stałego w obwodzie szeregowym RC

W obwodzie (rys. 4) ciągłość zachowuje napięcie na kondensatorze. Po włączeniu źródła, czyli w każdej chwili , zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa otrzymuje się zależność

(12)

przy warunkach początkowych .

Napięcie na oporniku

,

(13)

więc równanie (12) można zapisać inaczej

przy.

(14)

Rozwiązaniem tego równania jest napięcie

.

(15)

Prąd w obwodzie wynosi:

.

(16)

Wyniki (15) i (16) ilustruje rys. 5.

W chwili wartość napięcia zasilającego skokowo spada do zera. Wtedy równanie (12) ma postać

dla.

(17)

Rozwiązaniem tego równania jest napięcie (patrz rys. 6a)

,

(18)

natomiast prąd wynosi (ilustruje to rys. 6b)

(19)

przy czym

,

oraz

.

Włączenie napięcia stałego w obwodzie szeregowym RLC

W obwodzie przedstawionym na rys. 7 powinny być spełnione warunki:

(20)

Układ można opisać równaniem, w którym wielkością poszukiwaną jest napięcie na kondensatorze. Dla z II prawa Kirchhoffa otrzymuje się:

(21)

Po podstawieniu

i

,

równanie (21) przyjmuje postać równania różniczkowego drugiego rzędu postaci:

.

(22)

Przy założeniu zerowych warunków początkowych, czyli dla

i

(23)

składowa wymuszona rozwiązania równania (22) wynosi :

(24)

Natomiast składowa swobodna rozwiązania wynosi:

,

(25)

gdzie i są stałymi całkowania zależnymi od warunków początkowych równania, i - pierwiastkami równania charakterystycznego

.

(26)

Równanie (26) spełniają następujące pierwiastki

(27)

gdzie:

- współczynnik tłumienia,

- pulsacja drgań nietłumionych.

Stałe i oblicza się z warunków (23):

(28)

Stałe wynoszą

i.

(29)

Zależnie od wartości rezystancji w stosunku do indukcyjności i pojemności rozróżnia się trzy przypadki:

Przypadek 1:

przy parametr przedstawia liczbę urojoną, czyli pierwiastki równania charakterystycznego (26) tworzą parę sprzężoną:

,, gdzie

(30)

-pulsacja drgań własnych

Wtedy przebieg napięcia na kondensatorze jest oscylacyjny tłumiony (rys. 8a)-czyli układ ma charakter drgający tłumiony:

(31)

Szybkość, z jaką znikają tłumione oscylacje w pobudzonym obwodzie RLC charakteryzuje logarytmiczny dekrement tłumienia :

(32)

i są to dwie sąsiednie największe rzędne tego samego znaku (odpowiadają one różnicy faz ).

Logarytmiczny dekrement tłumienia zależy od wszystkich trzech parametrów R, L i C. Przy powolnym tłumieniu jest bliski zera, przy szybkim tłumieniu - rośnie i np. dla stosunku rzędnych wyrażających się liczbą wynosi 1.

Gdyby rezystancja w obwodzie była równa zero (założenie teoretyczne), to oscylacja napięcia nie zanikałaby (rys. 8b). Wzór przybrałby postać

(33)

Przypadek 2:

przy parametr jest liczbą rzeczywistą, czyli

,

(34)

Wówczas napięcie ma charakter aperiodyczny (rys. 8b):

(35)

Punkt przegięcia krzywej znajduje się w punkcie

(36)

Dla chwili prąd w obwodzie osiąga maksimum, a napięcie na cewce przechodzi przez zero.

Przypadek 3:

przy parametr oraz .

Napięcie na kondensatorze ma charakter aperiodyczny krytyczny lub inaczej drgający graniczny

(37)

Charakter tego przebiegu jest taki sam jak na rys. 8c, z tym, że punkt przegięcia występuje dla chwili

(38)

W tym momencie prąd wynosi , a napięcie na cewce przechodzi przez zero. Dla stan nieustalony trwa najkrócej ze wszystkich trzech przypadków.

Dla czasu równanie (21) ma postać

(39)

Przy warunkach początkowych oraz . W konsekwencji równanie (22) ma teraz postać

(40)

Analogicznie jak dla przedziału czasu mogą wystąpić trzy przypadki przebiegu napięcia .

Przypadek 1': oscylacyjne, tłumione wyładowanie kondensatora (rys. 9a):

(41)

Przypadek 2'': aperiodyczne wyładowanie kondensatora (rys. 9b):

(42)

Krzywa ta ma punkt przegięcia dla chwili , gdzie wyraża wzór (36).

Przypadek 3': aperiodyczne krytyczne wyładowanie kondensatora:

(43)

Charakter tego przebiegu jest taki sam jak na rys. 9b, z tym, że punkt przegięcia pojawia się w chwili , gdzie wyraża wzór (38).

Pomiary

W ćwiczeniu badamy reakcję dwójników składających się z elementów R, L i C na sygnał prostokątny.

1. W szeregowym obwodzie RC za pomocą oscyloskopu wyznaczyć przebieg (rys. 10a) oraz (rys. 10b).

2. W układzie szeregowym RL wyznaczyć metodą oscyloskopową przebiegi (rys. 11a) i (rys. 11b).

3. W szeregowym obwodzie RLC za pomocą oscyloskopu należy wyznaczyć przebiegi (rys. 12a), (rys. 12b) i (rys. 12c).

Zakres sprawozdania

1. W obwodach RL i RC wyznaczyć graficznie i obliczyć stałą czasową .
2. W obwodzie szeregowym RLC wyznaczyć dekrement tłumienia przebiegów oscylacyjnych tłumionych. Sprawdzić to obliczeniowo.
3. Sprawdzić, czy wyznaczona pomiarowo częstotliwość rezonansowa jest równa wyliczonej.
4. Porównać ze sobą przebiegi tej samej wielkości przy zmieniających się parametrach obwodu.
5. Wykonać analizę porównawczą wybranego przebiegu dla różnych parametrów obwodu.

LITERATURA:

1. Praca zbiorowa pod redakcją Osowskiego S.: Laboratorium elektrotechniki teoretycznej. Obwody elektryczne, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1989
2. Łuczycki A., Skopec A.: Elektrotechnika teoretyczna. Analiza układów nieliniowych, Skrypt Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1986