FERROREZONANS

Wstęp

W niniejszym ćwiczeniu badane jest zjawisko rezonansu występujące w obwodach z dławikiem (cewką nawiniętą na rdzeniu ferromagnetycznym) i z kondensatorem.

Ferrorezonans napięć


Obwód przedstawiony na rys. 1 jest zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnego

(1)

Z II prawa Kirchhoffa otrzymujemy

(2)

czyli

(3)

gdzie:

- ładunek kondensatora ,

- strumień skojarzony z cewką .

Po zróżniczkowaniu równanie (3) przyjmuje postać

(4)

Pochodna ładunku po czasie czyli prąd, ma przebieg sinusoidalny. Prąd ten jest nieliniową funkcją strumienia (patrz rys. 2).

Krzywą można aproksymować równaniem

(5)

gdzie:

- indukcyjność na odcinku liniowym charakterystyki ,

- dodatnia stała.

Podstawiając zależność (5) do równania (4) otrzymuje się

(6)

po uporządkowaniu wyrazów

(7)

gdzie:

,

Równanie to jest nieliniowym równaniem Duffinga, którego rozwiązanie (zgodnie z metodą pierwszej harmonicznej) przewiduje się w postaci

(8)

(9)

Widać, że pojawia się trzecia harmoniczna strumienia, która odpowiada za zmiany kształtu prądu.

Z bilansu dla pierwszej harmonicznej

Więc

(10)

Trzy różne rozwiązania równania (10) uzależnione od częstości i otrzymane dla jednej wartości zasilania przedstawia rys. 3.

Dla obwodu szeregowego dławik - kondensator, w którym uwzględnimy niezerową dodatnią rezystancję, rozwiązanie równania (10) ma postać przedstawioną na rys. 4.

Jak widać, przy częstotliwościach i ze względu na niestabilność krzywej na odcinku , , niewielka odchyłka częstości powoduje skokową zmianę amplitudy . Wartość dla częstości z przedziału zależy od poprzedniego stanu pracy układu.

Równanie (10) dla ustalonej (stałej) częstości przedstawia zależność amplitudy strumienia od wymuszenia (rys. 5).

Czyli skokowe zmiany amplitudy strumienia można osiągnąć przy stałej wartości pulsacji poprzez niewielką zmianę amplitudy wymuszenia przy . Odcinek charakterystyki a-b jest niestabilny. Zmiany strumienia w funkcji możemy obserwować mierząc zmiany prądu w obwodzie.

W układzie przedstawionym na rys. 6 działa rzeczywiście źródło napięcia sinusoidalnego z rezystancją wewnętrzną . Biorąc pod uwagę tylko pierwszą harmoniczną, można narysować wykres wskazowy o postaci przedstawionej na rys. 7.

Wykres ten opisuje równanie

(11)

która po przekształceniu przyjmuje postać

(12)

Jest to równanie elipsy o półosiach i . Punkt pracy układu jest więc określony przez punkt przecięcia się elipsy (12) z krzywą ferrorezonansową . Na rys. 8 widoczne są dwa punkty stabilne (1 i 3) i jeden niestabilny (2).

Zaznaczono także pętlę histerezy. Podczas doświadczenia (przy wymuszeniu napięciowym) przy zwiększaniu napięcia od zera do wartości prąd rośnie płynnie. Jeśli dalej będzie zwiększane napięcie, to prąd nagle osiągnie wartość większą od . Przy zmniejszaniu napięcia (wymuszającego) płynnie zmniejsza się prąd aż do . Dalsze zmniejszenie napięcia powoduje nagły spadek wartości prądu poniżej . Czyli odcinek 6-2-4 charakterystyki jest niedostępny pomiarowo przy wymuszeniu napięciowym. Natomiast wymuszenie prądowe pozwala wyznaczyć całą charakterystykę. Z analizy wzoru (7) wynika także, że ferrorezonans można zaobserwować w obwodzie (o zadanej częstości wymuszenia ), w którym spełniona jest równość . Czyli do pomiarów wybieramy takie pary kondensator - dławik, których charakterystyki przecinają się także w innym punkcie niż (0,0).

Ferrorezonans prądów

Obwód przedstawiony na rys. 10 zasilany jest ze źródła prądu sinusoidalnego.

(13)

Z I prawa Kirchhoffa otrzymuje się

(14)

Zależność prądu dławika od strumienia można aproksymować tak samo jak w (5)

Napięcie

więc

Równanie (14) przyjmuje więc postać

(15)

Równanie (15) jest analogiczne do równania (7).

Analiza tego obwodu jest oczywiście dualna do analizy w poprzednim punkcie. Krzywe ferrorezonansowe przedstawia rys. 11.

W tym układzie również część charakterystyki jest przy wymuszeniu prądowym niedostępna. Przy wymuszeniu napięciowym można wyznaczyć całą charakterystykę.

Praktyczne znaczenie zjawiska ferrorezonansu

Zjawisko ferrorezonansu wykorzystuje się w bezstykowym przełączniku (rys. 12)

i w stabilizatorze napięcia

Bardzo często jednak ferrorezonans jest zjawiskiem szkodliwym, szczególnie w układach elektroenergetycznych. Powoduje bowiem niebezpieczne dla urządzeń skokowe zmiany wartości amplitud prądów lub napięć. Innym zjawiskiem charakterystycznym dla ferrorezonansu są tzw. drgania termiczne. Drgania te mogą się wzbudzać np. w obwodzie pokazanym na rys. 6 pod warunkiem, że rezystancja bardzo zależy od temperatury i posiada dodatni współczynnik temperatury rezystancji. Wymagania te spełnia zwykła żarówka wolframowa. Okres drgań zależy od cieplnej stałej czasowej włókna żarówki. Są to więc drgania powolne, o okresach rzędu kilku sekund. Ponieważ częstotliwość tych drgań bardzo zależy od wielkości zewnętrznych, amplitudy napięcia zasilania, zjawisko to nie znajduje praktycznego zastosowania i może być raczej szkodliwe niż przydatne.

Pomiary

W układach przedstawionych na rys. 14 wyznaczyć charakterystyki dławika, kondensatora i charakterystykę łączną dławika i kondensatora przy zasilaniu napięciowym.

Wyniki pomiarów umieścić w tabeli 1.

TABELA 1

Lp.

Ferrorezonans napięć

Ferrorezonans prądów

Zakres sprawozdania

Należy wykreślić otrzymane charakterystyki napięciowo-prądowe i przedstawić wnioski.

LITERATURA:

  1. Praca zbiorowa pod redakcją Osowskiego S.: Laboratorium elektrotechniki teoretycznej. Obwody elektryczne, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1989
  2. Łuczycki A., Skopec A.: Elektrotechnika teoretyczna. Analiza układów nieliniowych, Skrypt Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1986